Talstelsel met basis gulden snede

Het talstelsel met de gulden snede als basis is een positiestelsel waarin elk niet-negatief reëel getal kan worden voorgesteld door een reeks van machten van de gulden snede, het irrationale getal

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$,

zonder dat in de voorstelling twee opeenvolgende machten van ${\displaystyle \varphi }$ voorkomen. Deze voorstelling, die uniek is, wordt de standaardvorm genoemd. Zo worden de getallen 1 tot en met 9 in dit talstelsel voorgesteld door:

getal	machtreeks in ${\displaystyle \varphi }$	met basis ${\displaystyle \varphi }$
1	${\displaystyle \varphi ^{0}}$	1
2	${\displaystyle \varphi ^{1}+\varphi ^{-2}}$	10,01
3	${\displaystyle \varphi ^{2}+\varphi ^{-2}}$	100,01
4	${\displaystyle \varphi ^{2}+\varphi ^{0}+\varphi ^{-2}}$	101,01
5	${\displaystyle \varphi ^{3}+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-4}}$	1000,1001
6	${\displaystyle \varphi ^{3}+\varphi ^{1}+\varphi ^{-4}}$	1010,0001
7	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{-4}}$	10000,0001
8	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{0}+\varphi ^{-4}}$	10001,0001
9	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{1}+\varphi ^{-2}+\varphi ^{-4}}$	10010,0101

In dit talstelsel kan een getal dus voorgesteld worden in de standaardvorm door een rij nullen en enen, zonder dat direct na elkaar twee enen voorkomen. Het is ook mogelijk een niet-standaardvorm als representatie te geven. Een rij waarin wel de deelrij "11" voorkomt, kan omgeschreven worden in de standaardvorm door de deelrij "11" te vervangen door "100" (en verder om te rekenen), gebruikmakend van de relatie:

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$.

Zo is bijvoorbeeld:

${\displaystyle 4+5=101{,}01_{\varphi }+1000{,}1001_{\varphi }=1101{,}1101_{\varphi }=10001{,}1101_{\varphi }=10010{,}0101_{\varphi }=9}$

De omrekening had ook als volgt kunnen gaan:

${\displaystyle 1101{,}1101_{\varphi }=10001{,}1101_{\varphi }=10002{,}0001_{\varphi }=10010{,}0101_{\varphi }}$.